シックス・メンズ・モリスは引き分け：初めて公開された解
要点
- シックス・メンズ・モリスを強解決した。到達可能な42,372,745局面すべてを解き、結果は引き分け。公開された解としてはこれが初めてだ。
- 16通りの初手はすべて引き分けだが、応手の試され方が違う。角に置いて始めると15通りの応手のうち8つが負けになり、辺の中点に置いて始めると負ける応手はひとつもない。
- 引き分けの局面は8%しかない。残りでは、どちらかがすでに勝っている。
- テーブルベース全体がメモリに収まり、ノートパソコンで約1分で解け、ウェブブラウザの中で動く。
モリスはミルを作るゲームの一族だ。線でできた盤に駒を置き、それから線に沿って滑らせる。印の付いた線に自分の駒が3つ並ぶとミルになり、相手の駒を1つ取り除ける。相手の駒を3つ未満に減らせば勝ちである。
有名なのはナイン・メンズ・モリスで、解決されてから30年以上たつ。Ralph Gasserが1993年に強解決し、双方最善手で引き分けだった。2014年にはGévayとDannerが、この一族全体について拡張解を計算している。
シックス・メンズ・モリスは、同じ盤から外側の輪を取り除いたものだ。モリスの変種の一覧には必ず載っているが、解析の論文には出てこない。
最善手の局面ブラウザを開く → テーブルベース相手に、どんな手順でも指せる。どの手も最善手での結果で色分けされ、緑が勝ち、灰色が引き分け、赤が負けだ。サイズの切り替えで、片側4駒、5駒、6駒を選べる。
ゲーム
シックス・メンズ・モリスは、2つの同心の正方形を4辺の中点で線でつないだ盤で遊ぶ。点は16、斜めの線はない。ナイン・メンズ・モリスの盤から外側の正方形を取り去ったものだ。
各プレイヤーは6駒を持つ。最初は配置フェーズで、交互に空いた点へ駒を置く。12駒すべてが置かれると移動フェーズが始まり、駒を隣の空いた点へ滑らせる。印の付いた線（どちらかの正方形の辺）に自分の駒が3つ並ぶとミルになる。ミルを完成させると、ミルに入っていない相手の駒を1つ取り除ける。ただし相手の駒がすべてミルに入っているなら、その限りではない。駒が3つ未満になるか、自分の手番で動かせる手がなくなると負けだ。
解いたのは飛びなしの標準ルールだ。3駒に減っても、駒は1歩ずつしか動けない。飛び（3駒になった側は任意の空いた点へ跳べる）を入れると手の木が変わる。こちらも別に解いたところ引き分けだったので、結果はどちらの取り決めでも成り立つ。
結果
シックス・メンズ・モリスは強解決された。テーブルベースには到達可能なすべての局面の値が入っているので、どこからでも最善手で指せる。ゲーム全体について、終局した局面から後ろ向きにたどって作った。
初期局面は引き分けで、白の16通りの初手はどれも引き分けを保つ。
| 項目 | 値 |
|---|---|
| 到達可能な局面 | 42,372,745 |
| 勝ち／引き分け／負け（手番側） | 23,392,364 / 3,459,385 / 15,520,996 |
駒が少ない同じ盤も、やはり引き分けになる。
| 片側の駒数 | 到達可能な局面 | 初期局面 |
|---|---|---|
| 4 | 4,111,151 | 引き分け |
| 5 | 17,844,721 | 引き分け |
| 6 | 42,372,745 | 引き分け |
これは初めて公開された解であって、史上初だと証明できるわけではない。シックス・メンズ・モリスは学術研究（Gasser 1996、GévayとDanner 2014）にも、オープンソースのソルバーMalomとSanmillにも見当たらない。これらはナイン・メンズ、トゥエルブ・メンズ、Lasker Morris、Morabarabaを扱うが、シックス・メンズは扱っていない。そこで誰でも確かめられるように、テーブルベースとソルバーを公開する。
4200万局面すべてがメモリに収まるので、外部ストレージなしでもノートパソコンで約1分で解ける。独立した3つのソルバーが同じ結果を出し、4駒版と5駒版も矛盾のない結果になる。より小さな解決済みのモリスがあれば得られたはずのクロスチェックを、これが代わりに担う。
わかったこと
悪手になる初手はないが、応手は試される。 辺の中点に置いて始めると、相手の15通りの応手はすべて引き分けのままだ。角に置いて始めると、15通りのうち8つが負ける。外側の角に置いた後は、分かれ方が輪に沿う。外側の輪の残りの点は引き分け、内側の輪はすべて負けである。
引き分けは細い道だ。 初期局面から引き分けになるが、引き分けの局面そのものは少ない。4200万のうち350万、約8パーセント。残りの92パーセントでは、どちらかがすでに勝っているか負けている。
一族は斜線で分かれる。 シックス・メンズは、ナイン・メンズやLasker Morrisと並んで引き分けの側に入る。唯一の先手勝ちであるMorabarabaは、斜めのミルを加えた唯一の変種だ。
ナイン・メンズ・モリスは解決済みか？
解決済みで、それも30年以上前からだ。Ralph Gasserがナイン・メンズ・モリスを強解決し、双方最善手で引き分けとなった。 1993年にETHの技術報告で発表され、1996年にGames of No ChanceでSolving Nine Men’s Morrisとして論文になった。どちらの年も引用されるが、1993年が解決、1996年が論文だ。
その後2014年に、GévayとDannerがこの一族全体について超強解と拡張解を計算した。オープンソースのソルバーMalomとSanmillは、ナイン・メンズ、トゥエルブ・メンズ、Lasker Morrisを扱っている。
空いていたのがシックス・メンズだった。そこを埋めると、一族の現状は次のようになる。
| 変種 | 結果 | 最初の解決 |
|---|---|---|
| スリー・メンズ・モリス | 先手勝ち | 古くから既知 |
| シックス・メンズ・モリス | 引き分け | Liou, 2026 |
| ナイン・メンズ・モリス | 引き分け | Gasser, 1993 |
| Lasker Morris | 引き分け | Stahlhacke, 2003 |
| Morabaraba | 先手勝ち | Gévay, 2015 |
それぞれの構造化された記録は、出典と複雑さの数値とともにsolved-gamesにある。
結論
シックス・メンズ・モリスは引き分けで、テーブルベースはメモリに載せてまるごと配布できるほど小さい。だから上の局面ブラウザは、解の全体をウェブブラウザの中で動かせる。ナイン・メンズ・モリスは数千倍大きく、スライスごとに解く必要がある。その既知の引き分けを一から再現するのがエンジンの次の目標だが、それは新しい結果というより規模の問題だ。
参考資料：
- シックス・メンズ・モリスの局面ブラウザ：テーブルベース相手にどんな手順でも指せ、どの手にも勝ち、負け、引き分けのラベルが付く。
- game-solver：後退解析ソルバーとモリス用プラグイン。テーブルベースはリリースの成果物として置いてある。
- solved-games：この結果を加えた、解決済みゲームの構造化された登録簿。
- Gasser, Solving Nine Men’s Morris（Games of No Chance, 1996）：より大きな兄弟分。
- Gévay & Danner, Calculating Ultra-Strong and Extended Solutions for Nine Men’s Morris, Morabaraba, and Lasker Morris（2014）。