Tic-Tac-Chec：ルールと解決済みゲーム
Tic-Tac-Checでは各プレイヤーが4つのチェス駒を持ち、4×4の盤上で4つを一列に並べることを目指す。取った駒は再び使えるようになり、ポーンは盤の端で向きを変え、局面は無限に繰り返されうる。
私は1998年のDream Greenのオリジナルゲームを強解決した。最善手では引き分けである。 テーブルベースは2,476,597,610のインデックス済み局面を網羅し、すべての合法手の正確な結果に加えて、必勝または必敗のすべてについて終局までの距離を与える。
下で試してほしい。各手には手番側から見た結果のラベルが付いている。距離は手（片方のプレイヤーの1手）単位であり、引き分けには有限の距離は存在しない。
駒をドラッグするか、順位付けされた手をクリックして変化を追える。緑は勝ち、灰色は引き分け、赤は負け。
ルール
各プレイヤーはポーン、ナイト、ビショップ、ルークを1つずつ持つ。4つすべてを横列、縦列、または長い対角線に並べれば勝ちとなる。
- 序盤： 盤面は空の状態で始まる。最初の6手では、各プレイヤーが3つの駒を打つ。
- 手番： 移動が解禁されると、プレイヤーは手持ちの駒を打つか、盤上の駒を動かすことができる。以降に駒を取っても移動は解禁されたままである。
- チェスの動き： ナイト、ビショップ、ルークは通常どおり動き、駒を取る。キング、チェック、チェックメイトは存在しない。
- 駒の再利用： 取られた駒はゲームから除かれるのではなく、持ち主の手駒に戻る。
- ポーン： まっすぐ1マス進み、斜め前方の駒を取り、盤のどちらかの端で向きを反転する。打ち直すと向きは相手側に向けてリセットされる。
結果
空の盤面は引き分けであり、64通りの初手の配置すべてが引き分けを保つ。 強制配置の序盤を過ぎてもゲームは引き分けが多いままで、インデックス済みの序盤後の局面のうち91.51%が引き分けである。
| 区分 | 勝ち | 負け | 引き分け |
|---|---|---|---|
| 序盤後 | 184,895,598 | 24,178,920 | 2,253,286,227 |
| 配置のみの序盤 | 147,472 | 30,468 | 14,058,925 |
値は手番側から見たものである。勝ちとはそのプレイヤーが4つ並べることを強制できることを意味し、負けとはあらゆる受けが破綻することを意味する。序盤後で最も深い必勝は41手で終わり、負け局面からの最長の抵抗は40手続く。配置のみの序盤では、最も深い決着局面が39手に達する。
引き分けの姿
空の盤面から決定論的な引き分けの変化を1本抽出した。それは32手進んだのち、ちょうど18手の循環に入る。盤面、手番、手駒、ポーンの向きのすべてが繰り返される。
その変化上のある局面は、序盤の結果から想像されるよりはるかに際どい。
| 黒の選択肢 | 手 |
|---|---|
| 合法 | 18 |
| 引き分けを保つ | 3 |
| 2手で負ける | 15 |
黒番。引き分けになるのは a1-b2、d2-c2、c3-a2 のみで、残り15の選択肢はすべて2手で負ける。
この変化は結果を例示するものである。完成した勝ち／負け／引き分けの表こそが証明であり、そこにはすべての引き分け局面から少なくとも1つの引き分けの継続手が示されている。
注意力のゲーム
テーブルベースは、より人間的なゲームの説明を検証できる。すなわち、通常は寛容だが、相手が3つの駒を並べたときには気づかなければならない、というものだ。
私が生きた脅威として数えたのは、相手が直ちに4つを完成させる合法手を持っている場合だけである。これにより、4つ目の駒が塞がれている、ポーンの向きが逆である、あるいは移動がまだ解禁されていないといった、誤解を招く3駒の並びは除外される。2つの独立した検出器が、インデックス済みのすべての局面でまったく同じ勝ち手を見つけた。
| 序盤後の引き分け局面において | 結果 |
|---|---|
| 引き分けを保つ合法手 | 93.20% |
| 過半数の手が引き分けとなる局面 | 94.63% |
| すべての手が引き分けとなる局面 | 77.45% |
| 生きた脅威のある引き分け局面 | 108,060,290 |
| 脅威がある際に引き分けを保つ手 | 25.12% |
| 引き分けの応手がちょうど1つだけの脅威局面 | 15.23% |
傾向は明確である。
- 通常は寛容： ほとんどの引き分け局面では、ほとんどの手で問題ない。
- 局所的には一本道： 生きた脅威があると、引き分けとなる選択肢は手の93.20%から25.12%まで減る。
- 常に防げるわけではない： 序盤後の生きた脅威のうち96.89%には安全な応手がある。残る3,762,536件は、まさにテーブルベースにおける2手負けの局面である。
引き分け局面における生きた脅威にはすべて防ぎ方がある。あらゆる局面のあらゆる脅威を止められるという、より強い主張は誤りである。
これらは完全な構造的インデックス全体に対する数え上げであり、人間の対局で局面がどれほどの頻度で生じるかの推定ではない。注意力のゲームという解釈を、確率的な主張に変えることなく裏付けるものである。
循環のあるゲームを解く
駒が再利用されるため、ゲームは終盤に向かって縮小していかない。グラフには循環が含まれるので、単純な置換表を用いた前向きのミニマックスは安全ではない。経路に依存する繰り返しの判断が、局面の保存値に混入しうるからだ。
すべての値は手番側の視点によるものである。1手指した後、子局面は相手のものになる。私はその視点の入れ替わりを明示したうえで、グラフを後ろ向きに解いた。
- 完成した4つ並びは、次に手番が来るプレイヤーの負けとして印を付ける。
- いずれかの手で相手を負け局面に置ける局面は、勝ちとして印を付ける。
- すべての合法手が相手を勝ち局面に置く場合は、負けとして印を付ける。
- 値が変化しなくなるまで繰り返す。未解決のまま残った局面はすべて引き分けである。どちらの側もグラフを終端結果へ強制できない。
オリジナルのルールには繰り返しの制限が規定されていない。テーブルベースは勝ちに至らない無限の進行を引き分けとして評価する。人間側の繰り返しルールが停止条件を与えればよい。
| 表 | 局面数 | 表現 |
|---|---|---|
| 序盤後 | 2,462,360,745 | 循環を含むグラフ、色の入れ替えと180°回転で正規化 |
| 配置のみの序盤 | 14,236,865 | 6手の非循環な別表 |
各局面は盤面配置とポーンの向きから直接整数へ写像される。実用の結果は1局面あたり1バイトを使い、距離の偶奇で勝ちか負けを符号化し、1つのコードが引き分けを表す。
- ソース表： 2.48 GB、すべての局面の結果と残り手数を含む。
- 探索ツール用表： 463 MiB、決着局面についてのみ距離を保存。
- パッキング監査： 圧縮された各エントリをソース表と照合した。
結果の検証
本番の求解はM3 Max上でフラットなバイト配列を用いた。辺グラフを保存する代わりに、序盤後の28,730,418,180の有向な手を必要に応じて生成し、全体の求解をノートパソコン1台に収めた。
その結果は、次の個別の検証を経ている。
- 値の監査： 24.6億の序盤後局面すべてについてあらゆる合法な後続局面を再生成し、ソルバーの先行局面カウンタを使わずにミニマックスの等式を検証した。
- 距離の監査： 209,074,518の序盤後の決着局面すべてを別のパスで検証した。
- 序盤の再現： 可読性を重視した別のルールエンジンを用いた。
- 表現の検証： 番号付けと逆変換、色の正規化、ポーンの向き、生成された先行局面の辺を個別に検証した。
- 脅威の全数調査： 2つの独立した検出器が、インデックス済みのすべての局面で即詰みの勝ち手を正確に一致して示した。
公開された表はそれ自体の識別情報も持つ。ルールタグがどの変種の下で解かれたかを正確に示し、内部のCRC-64/XZチェックサムがエントリ全体をカバーするため、探索ツールがあるルールの局面を別のルールの表に対して黙って照会することはありえない。
| 項目 | 値 |
|---|---|
| ルールタグ | 0x54544303 |
| 序盤後の局面数 | 2,462,360,745 |
| 配置のみの局面数 | 14,236,865 |
| 表のCRC-64/XZ | 0xeb952765179a695e |
先行研究の調査では、これ以前に公開された強解決も弱解決も見つからなかった。これは範囲を限定した否定的結果であり、誰も個人的に解いていないことの証明ではない。
どのルールか
この求解は1998年のDream Greenのゲームに対するものである。この名称は現在、複数のルールセットを指す。
| ルールセット | ポーン／序盤の解釈 | 空の盤面 | 状態 |
|---|---|---|---|
| 1998年、進行方向解釈 | 戻ってくるポーンは現在の向きで駒を取る | 引き分け | 標準テーブルベース |
| 1998年、往路のみ解釈 | 戻ってくるポーンは駒を取れない | 引き分け | 別版テーブルベース |
| 2025年のボビー・フィッシャー版再発売 | 新しいポーンの初手と序盤ルールを謳っている | 不明 | 完全なルールブックと別途の求解が必要 |
オリジナルのルールシートには、ポーンは向こう端で向きを反転し、「前方」へ動く間のみ駒を取ると書かれているが、戻る途中の駒取りを図示してはいない。私は進行方向解釈を採った。すなわち、駒を取る斜めの方向もポーンとともに反転する。詳細なフランス語の書き起こしと独立した遊べる実装もこれと一致する。デザイナーまたは出版社の直接の裁定があれば決着するだろう。
より厳格な往路のみの解釈では、426,173,880の合法手が失われ、16,529,908局面の値が変わる。そのうちいくつかは完全に反転する。標準版で勝ちだった9,366局面が往路のみでは負けになり、810の負けが勝ちになる。序盤の結果は引き分けのままだが、表のエントリが数百万単位で異なるため、探索ツールは依然としてどの変種かを識別できる。
結論
16マスで24億8千万のインデックス済み局面が生じたのは、駒を取っても盤外に除かれず再利用されるからである。このルールが、引き分けの背後にある循環と、それを維持することを難しくする戦術を生み出している。
完全解と対戦するにはtic-tac-chec.brianhliou.comへ。
資料：
- Tic-Tac-Checテーブルベース探索ツール：すべての合法手を正確な結果と決着までの距離で順位付け。
- 標準テーブルベース v1：463 MiBの圧縮テーブルベースとSHA-256チェックサム。
- ソルバーと研究記録：Rust製ソルバー、ルール台帳、検証テスト、再現用コマンド。
- 本番求解の記録：局面数、所要時間、監査、チェックサム。
- 生成された戦略レポート：残り手数の完全なヒストグラムと再生された変化。
- 脅威と防御の全数調査：手の幅と即時の脅威に関する網羅的な統計。
- ポーン変種の比較：2つのポーン解釈の間の正確な遷移数。
- Dream Greenのオリジナルルール：標準の求解に用いた一次資料のルールシート。