Tic-Tac-Chec：ルールと解決済みゲーム
要点
- Tic-Tac-Chec（4×4、各自チェスの駒4個、4つ並べれば勝ち）は1998年のオリジナルルールの下で強解決されている。最善手では引き分けとなる。
- テーブルベースは2,476,597,610局面を網羅し、最初の配置64通りすべてが引き分けを保ち、序盤終了後の局面の91.5%が引き分けである。
- これは注意力のゲームだ。実際の脅威が生じると引き分けを保つ手は93%から25%に減るが、引き分け局面におけるあらゆる脅威には受けが存在する。
- 取られた駒は手駒に戻るため、局面は繰り返される。ソルバーは決着した対局から後ろ向きに解き、無限に続く手順は引き分けと評価する。
Tic-Tac-Checでは各プレイヤーがチェスの駒4個を持ち、4×4の盤上で4つ並べることを目指す。駒を取ると再び使えるようになり、ポーンは盤の端で折り返し、局面は永久に繰り返され得る。
私は1998年のDream Green版オリジナルを強解決した。最善手では引き分けである。 テーブルベースは2,476,597,610のインデックス済み局面を網羅し、すべての合法手の正確な結果と、強制勝ち／負けすべてについて決着までの手数を与える。
下で実際に調べてみてほしい。各手は手番側の視点での結果でラベル付けされている。手数は手（片方のプレイヤーの1手）単位であり、引き分けには有限の手数がない。
駒をドラッグするか、順位付けされた手をクリックして手順をたどれる。緑は勝ち、灰色は引き分け、赤は負け。
ルール
各プレイヤーはポーン、ナイト、ビショップ、ルークを1個ずつ持つ。この4つを横列、縦列、または長い対角線に並べれば勝ちとなる。
- 序盤： 盤は空の状態から始まる。最初の6手では、各プレイヤーが3個ずつ駒を配置する。
- 手番： 移動が解禁されると、プレイヤーは手駒を配置するか、盤上の駒を動かすかを選べる。その後に駒を取った場合も移動は解禁されたままである。
- チェスの動き： ナイト、ビショップ、ルークは通常どおり動き、駒を取る。キング、チェック、チェックメイトは存在しない。
- 駒の再利用： 取られた駒はゲームから除外されるのではなく、持ち主の手駒に戻る。
- ポーン： まっすぐ1マス進み、斜め前方で駒を取り、盤のどちらかの端で進行方向が反転する。再配置すると方向は相手側に向けてリセットされる。
結果
空の盤面は引き分けであり、最初の配置64通りすべてが引き分けを保つ。 強制配置の序盤が終わった後もゲームは引き分けが多い。インデックス済みの序盤終了後局面の91.51%が引き分けである。
| 区分 | 勝ち | 負け | 引き分け |
|---|---|---|---|
| 序盤終了後 | 184,895,598 | 24,178,920 | 2,253,286,227 |
| 配置のみの序盤 | 147,472 | 30,468 | 14,058,925 |
値は手番側から見たものである。勝ちとはそのプレイヤーが4つ並びを強制できることを意味し、負けとはあらゆる受けが失敗することを意味する。序盤終了後で最も深い強制勝ちは41手で決着し、負け局面からの最長の抵抗は40手続く。配置のみの序盤では、最も深い決着局面が39手に達する。
引き分けの姿
空の盤面から決定的な引き分け手順を1つ抽出した。32手進んだ後、正確に18手周期の循環に入る。盤面、手番、手駒、ポーンの向きのすべてが繰り返される。
その手順上のある局面は、序盤の結果から想像されるよりずっと際どい。
| 黒の選択肢 | 手 |
|---|---|
| 合法 | 18 |
| 引き分けを保つ | 3 |
| 2手で負ける | 15 |
黒の手番。a1-b2、d2-c2、c3-a2のみが引き分けで、他の15手はすべて2手で負ける。
この手順は結果を例示したものだ。完成した勝ち／負け／引き分けの表こそが証明であり、あらゆる引き分け局面から少なくとも1つの引き分け継続手を与える。
注意力のゲーム
テーブルベースを使えば、このゲームについてより人間的な記述を検証できる。すなわち、通常は寛容だが、相手が3個を並べたときには気づかなければならない、というものだ。
実際の脅威としてカウントしたのは、相手が直ちに4つ並びを完成させる合法手を持つ場合だけである。4個目の駒が遮られている、ポーンの向きが逆、あるいは移動がまだ解禁されていないといった、紛らわしい3個並びは除外した。2つの独立した検出器が、インデックス済みのすべての局面でまったく同じ勝ち手を見つけた。
| 序盤終了後の引き分け局面において | 結果 |
|---|---|
| 引き分けを保つ合法手 | 93.20% |
| 過半数の手が引き分けとなる局面 | 94.63% |
| すべての手が引き分けとなる局面 | 77.45% |
| 実際の脅威がある引き分け局面 | 108,060,290 |
| 脅威がある状況で引き分けを保つ手 | 25.12% |
| 引き分けの応手がちょうど1つだけの脅威局面 | 15.23% |
傾向は明確である。
- 通常は寛容： 大半の引き分け局面では、大半の手が問題ない。
- 局所的には一手限定： 実際の脅威があると、引き分けとなる選択肢は手全体の93.20%から25.12%に減る。
- 常に受けられるわけではない： 序盤終了後の実際の脅威のうち96.89%には安全な応手がある。残る3,762,536はまさにテーブルベースの2手負け局面である。
引き分け局面におけるあらゆる実際の脅威には受けがある。あらゆる局面のあらゆる脅威を止められるという、より強い主張は誤りである。
これらは完全な構造インデックス上の個数であり、人間の対局でどれだけ頻繁にその局面が生じるかの推定ではない。注意力のゲームという解釈を裏づけるものであって、確率的な主張にするものではない。
循環するゲームを解く
駒が再利用されるため、ゲームは終盤へ向かって縮小していかない。グラフには循環が含まれるので、単純な置換表を伴う前向きのミニマックスは安全でない。経路依存の繰り返し判定が、ある局面の保存値に漏れ込みかねないからだ。
すべての値は手番側の視点である。1手進むと、子局面は相手のものになる。私はこの視点の反転を明示したうえで、グラフを後ろ向きに解いた。
- 完成した4つ並びを、次に手番が来るプレイヤーの負けとする。
- いずれかの手で相手を負け局面に置けるなら、その局面を勝ちとする。
- すべての合法手が相手を勝ち局面に置くなら、その局面を負けとする。
- 値が変化しなくなるまで繰り返す。未確定のまま残った局面はすべて引き分けである。どちらの側もグラフを終端結果へ強制できない。
オリジナルのルールは繰り返しの制限を定めていない。テーブルベースは勝ちにならない無限の手順を引き分けと評価する。人間向けの千日手ルールがあれば停止条件を与えられる。
| 表 | 局面数 | 表現 |
|---|---|---|
| 序盤終了後 | 2,462,360,745 | 循環グラフ、色の入れ替えと180°回転で正規化 |
| 配置のみの序盤 | 14,236,865 | 6手の非循環な別表 |
各局面は盤面の配置とポーンの向きから直接整数に対応づけられる。実用の結果は1局面あたり1バイトを使い、手数の偶奇が勝ちか負けかを表し、1つのコードが引き分けを示す。
- 元データの表： 2.48 GB、全局面の結果と残り手数を収録。
- 局面ブラウザ用の表： 463 MiB、決着局面についてのみ手数を保存。
- 圧縮の監査： コンパクトな各エントリを元データの表と照合した。
結果の検証
本番の解法はM3 Max上でフラットなバイト配列を用いた。辺のグラフを保存せず、必要に応じて序盤終了後の有向手28,730,418,180通りを生成することで、解法全体を1台のノートPCで完結させた。
その結果は、次の個別チェックを通した。
- 値の監査： 24.6億の序盤終了後局面すべてについて合法な後続局面を再生成し、ソルバーの先行局面カウンタを使わずにミニマックスの等式を検証した。
- 手数の監査： 209,074,518の序盤終了後決着局面すべてを別のパスで検証した。
- 序盤の再現： 可読性を重視した別のルールエンジンを用いた。
- 表現のチェック： ランク／アンランク、色の正規化、ポーンの向き、生成した先行辺を独立にテストした。
- 脅威の全数調査： 2つの独立した検出器が、インデックス済みのすべての局面で即詰み相当の勝ち手について完全に一致した。
公開する表はそれ自身の同一性情報も持つ。ルールタグが解決に用いた正確なバリアントを示し、内部のCRC-64/XZチェックサムがエントリ全体を覆うため、局面ブラウザがあるルールセットの局面を別のルールセットの表に黙って問い合わせることはあり得ない。
| 項目 | 値 |
|---|---|
| ルールタグ | 0x54544303 |
| 序盤終了後の局面数 | 2,462,360,745 |
| 配置のみの局面数 | 14,236,865 |
| 表のCRC-64/XZ | 0xeb952765179a695e |
先行研究の調査では、これ以前に公開された強解決も弱解決も見つからなかった。これは範囲を限った否定的結果であり、誰も非公開で解いていないという証明ではない。
どのルールか
この解決は1998年のDream Green版に属する。現在、この名前は複数のルールセットを指している。
| ルールセット | ポーン／序盤の解釈 | 空の盤面 | 状況 |
|---|---|---|---|
| 1998年、進行方向準拠 | 折り返したポーンは現在の向きで駒を取る | 引き分け | 正式なテーブルベース |
| 1998年、往路のみ | 折り返したポーンは駒を取れない | 引き分け | 別バージョンのテーブルベース |
| 2025年のボビー・フィッシャー版再発売 | ポーンの初手と序盤ルールが新しいと告知されている | 不明 | 完全なルールブックと別途の解法が必要 |
オリジナルのルールシートには、ポーンは奥の端で反転し、「前進」中のみ駒を取ると書かれているが、折り返し時の駒取りの図は一切ない。私は進行方向準拠の読みを採用した。つまり駒を取る斜めの向きもポーンとともに反転する。詳細なフランス語の書き起こしと独立したプレイ可能な実装もこれと一致する。デザイナーか発行元による直接の裁定があれば決着するだろう。
より厳格な往路のみの読みでは、合法手が426,173,880通り減り、16,529,908局面の値が変わる。そのうち一部は完全に逆転する。正式版で勝ちだった9,366局面が往路のみでは負けになり、810の負けが勝ちになる。序盤の結果は引き分けのままだが、表のエントリが数百万も異なるため、局面ブラウザは依然としてバリアントを識別できる。
まとめ
16マスで24.8億のインデックス済み局面が生じたのは、駒を取っても盤から除かれず再利用されるからだ。このルールが引き分けの背後にある循環を生み、同時に引き分けを維持するのを難しくする戦術も生んでいる。
完全解に挑むには tic-tac-chec.brianhliou.com へ。
関連資料：
- Tic-Tac-Checテーブルベース局面ブラウザ：すべての合法手を正確な結果と決着までの手数で順位付け。
- 正式テーブルベース v1：463 MiBのコンパクトなテーブルベースとSHA-256チェックサム。
- ソルバーと研究記録：Rust製ソルバー、ルール台帳、検証テスト、再現用コマンド。
- 本番解法の記録：局面数、実行時間、監査、チェックサム。
- 自動生成の戦略レポート：残り手数の完全なヒストグラムと再現手順。
- 脅威と受けの全数調査：手の幅と即時脅威に関する網羅的な統計。
- ポーンのバリアント比較：2つのポーン解釈間の正確な遷移数。
- Dream Greenのオリジナルルール：正式な解法に用いた一次ルールシート。